Алгоритм GJK (Gilbert-Johnson-Keerthi, Гилберта — Джонсона — Кирти) — это эффективный метод для решения задачи о ближайших точках (closest point problems) между выпуклыми множествами. Он широко используется в компьютерных играх, робототехнике и других областях для обнаружения [[Пересечение|столкновений]] между выпуклыми объектами. ### Принцип работы: 1. **Инициализация**: Выбирается начальная точка в [[Simplex|симплексе]] — это может быть, например, точка на одном из объектов. 2. **Итерация**: На каждом шаге алгоритма строится новый симплекс, который либо содержит начало координат, либо направлен к нему. 3. **Проверка**: Если новый симплекс содержит начало координат, объекты пересекаются. В противном случае, итерация продолжается с новым симплексом. ### Производительность: GJK считается одним из самых быстрых алгоритмов для [[Collision Detection (Обнаружение Столкновений)|обнаружения столкновений]], особенно для объектов с небольшим числом вершин. Он может работать на [[Asymptotic Complexity и Time Complexity (Асимптотическая сложность и Временная сложность)|сублинейном времени]] в зависимости от размера входных данных. Однако, сложность алгоритма теоретически не определена и может варьироваться. ### Пример кода на чистом C\# ###### Производительность: - `FurthestPointInDirection`: Линейная сложность \( O(n) \), где \( n \) — количество вершин. - `SupportFunc`: Также линейная сложность, так как вызывает `FurthestPointInDirection` дважды. - `GJK`: Время выполнения варьируется, но в большинстве случаев является эффективным, особенно для объектов с небольшим числом вершин. Этот код — упрощенный пример, и в реальной реализации могут быть дополнительные оптимизации и обработка различных случаев. Надеюсь, теперь стало понятнее. ```csharp // Функция для нахождения наиболее удаленной точки в заданном направлении для выпуклого объекта Vector3 FurthestPointInDirection(Vector3 direction, Vector3[] vertices) { // Инициализация максимального произведения и соответствующей точки float maxProduct = Vector3.Dot(vertices[0], direction); Vector3 furthestPoint = vertices[0]; // Перебор всех вершин для нахождения наиболее удаленной в заданном направлении for (int i = 1; i < vertices.Length; ++i) { float product = Vector3.Dot(vertices[i], direction); if (product > maxProduct) { maxProduct = product; furthestPoint = vertices[i]; } } return furthestPoint; } // Функция поддержки, используемая в алгоритме GJK Vector3 SupportFunc(Vector3 direction, Vector3[] verticesA, Vector3[] verticesB) { // Находим наиболее удаленную точку на первом объекте в заданном направлении Vector3 pointA = FurthestPointInDirection(direction, verticesA); // Находим наиболее удаленную точку на втором объекте в противоположном направлении Vector3 pointB = FurthestPointInDirection(-direction, verticesB); // Возвращаем разницу между этими точками return pointA - pointB; } // Основная функция алгоритма GJK для обнаружения столкновений bool GJK(Vector3[] verticesA, Vector3[] verticesB) { // Инициализация начальной точки и направления Vector3 initialPoint = SupportFunc(new Vector3(1, 0, 0), verticesA, verticesB); Simplex simplex = new Simplex(initialPoint); Vector3 direction = -initialPoint; // Основной цикл алгоритма while (true) { // Находим новую поддерживающую точку в заданном направлении Vector3 newPoint = SupportFunc(direction, verticesA, verticesB); // Проверка, пересекаются ли объекты if (Vector3.Dot(newPoint, direction) < 0) return false; // Добавляем новую точку в симплекс simplex.Add(newPoint); // Проверка, содержит ли симплекс начало координат, и обновление направления если необходимо if (simplex.ContainsOrigin(ref direction)) return true; } } ``` Класс `Simplex` — это структура данных, используемая в алгоритме GJK для хранения "простейшей" фигуры (simplex), которая может быть точкой, отрезком, треугольником или тетраэдром. Этот объект используется для аппроксимации формы двух других объектов и позволяет определить, пересекаются ли они. ###### Производительность: 1. Добавление вершины (`Add`): Операция имеет константную сложность \(O(1)\), так как это добавление элемента в список. 2. `ContainsOrigin`: Сложность зависит от реализации. В общем случае, это может быть операция с линейной или константной сложностью, в зависимости от размера симплекса (который ограничен: 1-4 вершины). Вот простая реализация класса `Simplex` на C#: ```csharp using System.Collections.Generic; using UnityEngine; public class Simplex { private List<Vector3> vertices; public Simplex(Vector3 initialPoint) { vertices = new List<Vector3> { initialPoint }; } // Добавление точки к симплексу public void Add(Vector3 vertex) { vertices.Add(vertex); } // Проверка, содержит ли симплекс начало координат, и, если необходимо, обновление направления public bool ContainsOrigin(ref Vector3 direction) { // Берем последнюю вершину симплекса, которую обычно обозначают как A Vector3 A = vertices[vertices.Count - 1]; // Вектор AO направлен от A к началу координат Vector3 AO = -A; // Обработка симплекса в виде отрезка (2 вершины) if (vertices.Count == 2) { // Вершина B - первая вершина симплекса Vector3 B = vertices[0]; // Вектор от A к B Vector3 AB = B - A; // Новое направление для следующего шага GJK direction = Vector3.Cross(Vector3.Cross(AB, AO), AB); } // Обработка симплекса в виде треугольника (3 вершины) else if (vertices.Count == 3) { Vector3 B = vertices[0]; Vector3 C = vertices[1]; Vector3 AB = B - A; Vector3 AC = C - A; // Вектор, перпендикулярный плоскости ABC Vector3 ABC = Vector3.Cross(AB, AC); // Проверки для определения, в какую сторону двигаться дальше if (Vector3.Dot(Vector3.Cross(AB, ABC), AO) > 0) { direction = Vector3.Cross(Vector3.Cross(AB, AO), AB); } else if (Vector3.Dot(Vector3.Cross(ABC, AC), AO) > 0) { direction = Vector3.Cross(Vector3.Cross(AC, AO), AC); } else { direction = ABC; } } // Обработка симплекса в виде тетраэдра (4 вершины) else if (vertices.Count == 4) { Vector3 B = vertices[0]; Vector3 C = vertices[1]; Vector3 D = vertices[2]; // Плоскости ABC, ABD и ACD Vector3 ABC = Vector3.Cross(B - A, C - A); Vector3 ABD = Vector3.Cross(B - A, D - A); Vector3 ACD = Vector3.Cross(C - A, D - A); // Проверка, находится ли начало координат с той же стороны всех трех плоскостей if (Vector3.Dot(ABC, D - A) > 0 && Vector3.Dot(ABD, C - A) > 0 && Vector3.Dot(ACD, B - A) > 0) { return true; // Тетраэдр содержит начало координат, объекты пересекаются } // Иначе, определить новое направление для поиска (это опущено для упрощения) } // Возвращаем false, если начало координат не содержится в симплексе return false; } } ```