Парадокс дней рождения (или эффект дней рождения) - это ситуация, когда вероятность совпадения дней рождения между любыми двумя людьми в группе быстро растет с увеличением размера группы. Это неинтуитивно, потому что кажется, что вам понадобится гораздо больше людей, чтобы найти совпадение. Но давайте разберемся, как это работает. У нас есть 365 дней в году (не считая високосные года), так что кажется, что вероятность совпадения дней рождения между двумя людьми должна быть 1/365, что приближается к 0,27%. Однако эта вероятность распространяется на каждую пару людей в группе, и количество таких пар растет гораздо быстрее, чем количество людей в группе. Так, если у нас есть группа из 23 человек, то Вы сравниваете день рождения первого человека со всеми остальными 22-мя, затем день рождения второго человека с оставшимися 21-м, и так далее. Если вы сложите все эти числа (22 + 21 + 20 + ... + 1), вы получите 253. Итак, у нас есть 253 уникальных пар (это число можно получить из комбинаторной формулы "из n элементов выбрать по 2", n*(n-1)/2). Это означает, что у нас есть 253 "шанса" получить совпадение дней рождения. В группе из 23 человек есть 253 пары сравнений. Иными словами, мы сравниваем день рождения каждого человека с днем рождения каждого другого человека в группе. Всего получается 253 уникальных пары. Вероятность нахождения совпадения для одной пары составляет 1/365. Это потому, что у нас 365 возможных дней рождения в году. Но так как у нас есть 253 пар, у нас есть 253 возможности найти совпадение. Это не значит, что мы просто умножаем 1/365 на 253 - вероятность не работает таким образом. Но это означает, что у нас гораздо больше шансов найти совпадение, чем можно было бы предположить, основываясь только на 1/365. По этой причине вероятность того, что мы найдем хотя бы одно совпадение, превышает 50% в группе из 23 человек. Используя некоторые математические вычисления, можно показать, что вероятность совпадения дней рождения в такой группе превышает 50%. ##### Как точно посчитать вероятность совпадения в данной группе? Давайте вычислим вероятность наличия хотя бы одного совпадения дня рождения в группе из 23 человек. Вместо того чтобы прямо рассчитывать вероятность совпадения, проще рассчитать обратную вероятность - что все дни рождения уникальны, и затем вычесть это из 1. Вероятность того, что первый и второй человек в группе имеют разные дни рождения, равна 364/365, потому что есть 364 оставшихся дня, которые второй человек может выбрать, чтобы не совпадать с первым. Третий человек теперь имеет 363 "безопасных" дней для выбора, чтобы не совпадать ни с первым, ни со вторым, так что вероятность для третьего человека равна 363/365. Мы продолжаем этот процесс до 23-го человека, у которого есть 343 "безопасных" дней для выбора, чтобы не совпадать с остальными, так что вероятность для 23-го человека равна 343/365. Теперь, чтобы получить общую вероятность того, что все дни рождения уникальны, мы просто перемножим все эти вероятности вместе: ```scss (364/365) * (363/365) * (362/365) * ... * (343/365) ≈ 0.492703 ``` То есть вероятность того, что все дни рождения уникальны, равна примерно 0.492703 или 49.2703%. Но мы хотим знать вероятность того, что есть хотя бы одно совпадение. Чтобы получить это, мы просто вычтем нашу вероятность из 1: ```scss 1 - 0.492703 = 0.507297 ``` Таким образом, вероятность наличия хотя бы одного совпадения дня рождения в группе из 23 человек равна примерно 0.507297 или 50.7297%, что более чем 50%.